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《對2017年山東濟南中考27題的探究——談中點的趣用》

2017-12-30  xyz3i

重要聲明:廣猛說題,版權所有,僅供參考,不得在任何公開場合使用及轉載,違者必究!

中點是一個神奇美妙的點,體現了對稱和諧之美,是中考的核心考查對象之一,在各類命題中占著重要的一席之地.本文擬從與中點有關的基本定理、基本圖形入手,以2017年山東濟南中考第27題為例,一題多解,談談中點的趣用.

一、基本圖形

先談談與中點有關的基本定理與基本圖形,如圖1所示:

1.線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等;

2.等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高線以及頂角的平分線重合,簡稱“三線合一”;

3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;

4.三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半;

5.平行四邊形的對角線互相平分;

由這些基本定理及其相關逆定理衍生出的基本圖形,是我們處理中點問題的常見策略,如倍長中線等方法.結合面積問題,還會有“三角形的中線平分其面積”等結論.

二、例題呈現

(2017山東濟南中考題)某學習小組在學習時遇到了下面的問題:

如圖2,在△ABC和△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,∠CAB=∠EAD=60°,點E、A、C在同一條直線上,連接BD,F是BD的中點,連接EF、CF,試判斷△CEF的形狀并說明理由.

問題探究

(1)小婷同學提出解題思路:先探究△CEF的兩條邊是否相等,如EF=CF.以下是她的證明過程:

請根據以上證明過程,解答下列兩個問題:

①在圖2中作出證明中所描述的輔助線;

②在證明的括號中填寫理由(請在SAS,ASA,AAS,SSS中選擇).

(2)在(1)的探究結論的基礎上,請你幫助小婷求出∠CEF的度數,并判斷△CEF的形狀.

問題拓展

(3)如圖3,當△ADE繞點A逆時針旋轉某個角度時,連接CE,延長DE交BC的延長線于點P,其他條件不變,判斷△CEF的形狀并給出證明.

三、解法初探

先解決第(2)小問:

再來解決最后一問:

第(3)小問,在題中交點P的提示下,聯想到對稱變換,將原來兩個相似的直角三角形轉化為兩個相似的等腰三角形,如圖6,

進一步得到如圖7所示的全等三角形,

這個模型可形象地稱為“共頂角頂點的雙相似等腰三角形模型”,其必然會產生一個手拉手式的全等,這往往是解題的關鍵之所在.

四、妙法迭出

成也點P,敗也點P.原題在點P的提示下,聯想構造,得到方法一,但也正是點P的出現,在一定程度上限制了思維,略顯多余.

“見中點,想中點;缺什么,補什么”,請看下面的中位線解法:

于是有∠FMA+∠AME=∠FNA+∠ANC,即∠EMF=∠FNC;

由此可得△EMF≌△FNC(SAS),故有EF=FC且∠MFE=∠NCF;

接下來,連續導角可得:∠EFC=∠MFN-∠MFE-∠NFC=(180°-∠FNA)-∠NCF-∠NFC=(180°-∠FNA)-(∠NCF+∠NFC)=(180°-∠FNA)-(180°-∠FNC)=∠FNC-∠FNA=∠ANC=2∠ABC=60°,故△CEF為等邊三角形,問題得解.

該解法忽略點P,通過再取中點,構造中位線模型,導邊導角,進而解決問題.

見中點,除了可以聯想構造常見的中位線模型,還可以嘗試采取倍長中線的方法求解,具體如下:

方法三依然無視點P的干擾,我行我素,倍長中線,導邊導角,巧借相似,從而順利解決問題.有趣的是,此法與前兩問中的特例關聯性更大,重疊性更多.

既然可以倍長EF,當然也可以倍長CF,如圖10所示,方法雷同,不再贅述.

五、結論推廣

如圖11,在△ABC和△DBE中,∠BAC=∠BDE=90°,∠CBA=∠EBD,保持△ABC不動,將△DBE繞著點B轉動,得到圖12、圖13,

F為EC的中點,連接AF、DF,則始終有:AF=DF且∠AFD=2∠ACB.

同理,可以倍長DF,不再贅述.

中點問題常常可以與等腰三角形、直角三角形等結合,還可以與其他中點構成中位線模型,或者采取倍長中線等方法,這些都是處理中點問題的常見策略.在解決與中點有關的問題中,可以聯想這些基本圖形,構造相應輔助線,勇于嘗試,敢于探索.

最后再提供一道2017年中考真題,供練習鞏固.

六、同類訓練

(本文完!)

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