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構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

2020-01-05  當以讀書...

    相似三角形存在性問題,是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點問題,這種類型的題目綜合性較強,更重要的是涉及方程與函數思想、數形結合思想、分類討論等重要的思想方法,對學生分析、解決問題的能力具有較高的要求。筆者擬就最新考題為例,從構造角度的角度,解密相似存在性問題。

    我們知道,當題目表述成文字形式的“相似”而不是符號表達的“∽”,此時兩個相似三角形就不存在對應關系,分類復雜難辨!但命此類題大多都是有跡可循的,往往題目中涉及的兩個相似三角形會存在一組關鍵的相等角,這組相等的角一定是對應角,從而將復雜難辨的多種分類迅速簡化成最多兩類情形,下面以題來論,你會更清楚!

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    典型考題

    1.從公共角出發,構造等角

    例1.(2019·婁底中考題)如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),點B(3,0),與y軸交于點C,且過點D(2,﹣3).點P、Q是拋物線y=ax2+bx+c上的動點.

    (1)求拋物線的解析式;

    (2)當點P在直線OD下方時,求△POD面積的最大值.

    (3)直線OQ與線段BC相交于點E,當△OBE與△ABC相似時,求點Q的坐標.

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    【解析】(1)函數的表達式為:y=a(x+1)(x﹣3),將點D坐標代入上式,即可求解為:y=x2﹣2x﹣3;

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    2.平行構造相等角

    例2..(2018·德州中考題)如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=x﹣1與拋物線y=﹣x2+bx+c交于A、B兩點,其中A(m,0)、B(4,n),該拋物線與y軸交于點C,與x軸交于另一點D.

    (1)求m、n的值及該拋物線的解析式;

    (2)如圖2,若點P為線段AD上的一動點(不與A、D重合),分別以AP、DP為斜邊,在直線AD的同側作等腰直角△APM和等腰直角△DPN,連接MN,試確定△MPN面積最大時P點的坐標;

    (3)如圖3,連接BD、CD,在線段CD上是否存在點Q,使得以A、D、Q為頂點的三角形與△ABD相似,若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    【解析】(1)把A與B坐標代入一次函數解析式求出m與n的值,確定出A與B坐標,代入二次函數解析式求出b與c的值即可;

    (2)由等腰直角△APM和等腰直角△DPN,得到∠MPN為直角,由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積,利用二次函數性質確定出三角形面積最大時P的坐標即可求當m=2,即AP=2時,S△MPN最大,此時OP=3,即P(3,0);

    (3)存在,理由如下:

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    3.由三角函數值求相等角

    例3.(2019·郴州中考題)已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸分別交于A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點 C.

    (1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標;

    (2)點F是線段AD上一個動點.

    ①如圖1,設k=AF/AD,當k為何值時,CF=1/2AD?

    ②如圖2,以A,F,O為頂點的三角形是否與△ABC相似?若相似,求出點F的坐標;若不相似,請說明理由.

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    【解析】(1)將A、B兩點的坐標代入二次函數解析式,用待定系數法即求出拋物線對應的函數表達式,可求得頂點D(﹣1,4);

    (2)①由A、C、D三點的坐標求出AC=3√2,DC=√2,AD=2√5,可得△ACD為直角三角形,若CF=1/2AD,則點F為AD的中點,可求出k的值;

    ②由條件可判斷∠DAC=∠OBC,則∠OAF=∠ACB,若以A,F,O為頂點的三角形與△ABC相似,可分兩種情況考慮:當∠AOF=∠ABC或∠AOF=∠CAB=45°時,可分別求出點F的坐標.

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    4.題無定角,分類討論相等角

    例4.(2019·襄陽中考題)如圖,在直角坐標系中,直線y=﹣1/2x+3與x軸,y軸分別交于點B,點C,對稱軸為x=1的拋物線過B,C兩點,且交x軸于另一點A,連接AC.

    (1)直接寫出點A,點B,點C的坐標和拋物線的解析式;

    (2)已知點P為第一象限內拋物線上一點,當點P到直線BC的距離最大時,求點P的坐標;

    (3)拋物線上是否存在一點Q(點C除外),使以點Q,A,B為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    解題反思總結

    在坐標系中確定點,使得由該點及其他點構成的三角形與其他三角形相似,即為“相似三角形存在性問題”.求解的出發點為根據題目給的已知條件選擇恰當的判定方法,解決問題.通常相似的兩三角形有一個是已知的,而另一三角形中有1或2個動點,即可分為“單動點”類、“雙動點”兩類問題.

    常見思路分析如下:根據相似三角形的做題經驗,可以發現,判定1基本是不會用的,這里也一樣不怎么用,對比判定2、3可以發現,都有角相等!所以,要證相似的兩個三角形必然有相等角,關鍵點也是先找到一組相等角.然后再找:思路1:兩相等角的兩邊對應成比例;思路2:還存在另一組角相等.事實上,坐標系中在已知點的情況下,線段長度比角的大小更容易表示,因此選擇方法可優先考慮思路1,構造等角兩邊對應成比例.解題的關鍵是找到一組關鍵的相等角,這是第一步,而這組相等的角有時題目會很明顯地交代出來,有時比較隱晦,需要自己有意識地去尋找這些特殊關系!

    構造等角,破解中考相似存在性壓軸難題

    其中“一線三等角”是極其重要的相似形,在解題中可將其視為“工具”,其運用分三重境界,一重境是一線上已具備三個等角,只需識別模型,再證明相似,直接運用;二重境是一條線上有兩個等角,需在補上一個等角,構造模型解題;三重境是一條線上只有一個等角,需補上兩個等角,構造模型解題。這種模型的關鍵是一線加頂點在這條線上的三個等角,解題時模型完整則直接用之,模型殘缺則補全模型再用之.

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